Somme trigonométrique - Corrigé

Énoncé

Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .  On pose \(R_n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(kx)\) . L'objectif de l'exercice est d'obtenir une expression explicite de \(R_n\) en fonction de \(x\) et \(n\) .

1. À l'aide de la formule du binôme de Newton, exprimer \((\text e^{ix}+1)^n\) comme une somme.

2. Justifier que \(R_n\) est la partie réelle du nombre complexe \((\text e^{ix}+1)^n\) .

3. Démontrer que \(\text e^{ix}+1=2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\text e^{i\frac{x}{2}}\) .

4. En déduire une expression de \((\text e^{ix}+1)^n\) en fonction de \(x\) et \(n\) .

5. Conclure.

Solution

1. D'après la formule du binôme de Newton,   \(\begin{align*}(\text e^{ix}+1)^n& = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\text e^{ix}\right)^k= \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \text e^{ikx}.\end{align*}\)

2. D'après la question 1, on a
\(\begin{align*}(\text e^{ix}+1)^n& = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \text e^{ikx}= \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(\cos(kx)+i\sin(kx) \right)= \left[ \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(kx) \right]+i \left[ \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \sin(kx) \right]\end{align*}\) donc \(R_n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos(kx)=\text R\text e\left[(\text e^{ix}+1)^n\right]\) .

3. On a :  \(\begin{align*}\text e^{ix}+1=\text e^{\frac{ix}{2}}\left(\text e^{\frac{ix}{2}}+\text e^{-\frac{ix}{2}}\right)=\text e^{\frac{ix}{2}} \times 2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\end{align*}\) donc \(\text e^{ix}+1=2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\text e^{i\frac{x}{2}}\) .

4. D'après la question précédente, \(\begin{align*}(\text e^{ix}+1)^n& = 2^n \cos^n\left(\frac{x}{2}\right) \text e^{\frac{inx}{2}}.\end{align*}\)

5. En utilisant les questions 2 et 4, on a
\(\begin{align*}R_n& =\text R\text e\left[2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\text e^{\frac{inx}{2}} \right]= 2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right).\end{align*}\)